К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю - автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением , но со знаком «-».

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

где - это . Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ = - 0

где 0 является начальной скоростью. В момент времени t 1 (см. рис. ниже) у тела 0 . В момент времени t 2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ = - 0 . Отсюда вычисляем ускорение:

.

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

.

Метр на секунду в квадрате - это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с 2 , значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени - это физическая величина , которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами - это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

.

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v 2 > v 1 , а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается (v 2 < v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

Страница 6 из 12

§ 5. Ускорение.
Равноускоренное прямолинейное движение

1. При неравномерном движении скорость тела с течением времени изменяется. Рассмотрим самый простой случай неравномерного движения.

Движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одно и то же значение, называют равноускоренным.

Например, если за каждые 2 с скорость тела изменялась на4 м/с, то движение тела является равноускоренным. Модуль скорости при таком движении может как увеличиваться, так и уменьшаться.

2. Пусть в начальный момент времени t 0 = 0 скорость тела равна v 0 . В некоторый момент времени t она стала равной v . Тогда изменение скорости за промежуток времени t – t 0 = t равно v – v 0 , а за единицу времени - . Это отношение называется ускорением . Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

Ускорением тела при равноускоренном движении называют векторную физическую величину, равную отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за который это изменение произошло.

a = .

Единица ускорения в СИ - метр на секунду в квадрате (1 ):

[a ] === 1 .

За единицу ускорения принимают ускорение такого равноускоренного движения, при котором скорость тела за 1 с изменяется на 1 м/с.

3. Поскольку ускорение - величина векторная, необходимо выяснить, как оно направлено.

Пусть автомобиль движется прямолинейно, имея начальную скорость v 0 (скорость в момент времени t = 0) и скорость v в некоторый момент времени t . Модуль скорости автомобиля возрастает. На рисунке 22, а изображены вектор скорости автомобиля. Из определения ускорения, следует, что вектор ускорения направлен в ту же сторону, что и разность векторов v – v 0 . Следовательно в данном случае направление вектора ускорения совпадает с направлением движения тела (с направлением вектора скорости).

Пусть теперь модуль скорости автомобиля уменьшается (рис. 22б ). В этом случае направление вектора ускорения противоположно направлению движения тела (направлению вектора скорости).

4. Преобразовав формулу ускорения при равноускоренном прямолинейном движении, можно получить формулу для нахождения скорости тела в любой момент времени:

v = v 0 + at .

Если начальная скорость тела равна нулю, т. е. в начальный момент времени оно покоилось, то эта формула приобретает вид:

v = at .

5. При вычислении скорости или ускорения пользуются формулами, в которые входят не векторы, а проекции этих величин на координатную ось. Поскольку проекция суммы векторов равна сумме их проекций, то формула для проекции скорости на ось X имеет вид:

v x = v 0x + a x t ,

где v x - проекция скорости в момент времени t , v 0x - проекция начальной скорости, a x - проекция ускорения.

При решении задач необходимо учитывать знаки проекций. Так, в случае, изображенном на рисунке 22, а , проекции скоростей и ускорения на ось X положительны; модуль скоростис течением времени возрастает. В случае, изображенном на рисунке 22, б , проекции на ось X скоростей положительны, а проекция ускорения - отрицательна; модуль скорости с течением времени уменьшается.

6. Пример решения задачи

Скорость автомобиля при торможении уменьшилась от 23 до 15 м/с. Каково ускорение тела, если торможение длилось 5 с?

Дано :	Решение
v 0 = 23 м/с v = 15 м/с t = 5 с	Автомобиль движется равноускоренно и прямолинейно; модуль его скорости уменьшается. Систему отсчета свяжем с Землей, ось X направим в сторону движения автомобиля (рис. 23), за начало отсчета времени примем начало торможения.
a ?

Запишем формулу для нахождения скорости при равноускоренном прямолинейном движении:

v = v 0 + at .

В проекциях на ось X получим

v x = v 0x + a x t .

Учитывая, что проекция ускорения тела на ось X отрицательна, а проекции скоростей на эту ось положительны, запишем: v = v 0 – at .

Откуда:

a = ;

a == 1,6 м/с 2 .

Ответ: a = 1,6 м/с 2 .

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называют равноускоренным?

2. Что называют ускорением равноускоренного движения?

3. По какой формуле вычисляется ускорение при равноускоренном движении?

4. Какова единица ускорения в СИ?

5. По какой формуле вычисляется скорость тела при равноускоренном прямолинейном движении?

6. Каков знак проекции ускорения на ось X по отношению к проекции скорости тела на эту же ось, если модуль его скорости увеличивается; уменьшается?

Задание 5

1. Чему равно ускорение автомобиля, если через 2 мин после начала движения из состояния покоя он приобрел скорость 72 км/ч?

2. Поезд, начальная скорость которого равна 36 км/ч, разгоняется с ускорением 0,5 м/ с 2 . Какую скорость приобретет поезд через 20 с?

3. Автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч, останавливается у светофора в течение 15 с. Чему равно ускорение автомобиля?

4. Какую скорость приобретет велосипедист через 5 с после начала торможения, если его начальная скорость равна 10 м/с, а ускорение при торможении составляет 1,2 м/с 2 ?

При прямолинейном равноускоренном движении тело

1. двигается вдоль условной прямой линии,
2. его скорость постепенно увеличивается или уменьшается,
3. за равные промежутки времени скорость меняется на равную величину.

Например, автомобиль из состояния покоя начинает двигаться по прямой дороге, и до скорости, скажем, в 72 км/ч он двигается равноускоренно. Когда заданная скорость достигнута, то авто движется без изменения скорости, т. е. равномерно. При равноускоренном движении его скорость возрастала от 0 до 72 км/ч. И пусть за каждую секунду движения скорость увеличивалась на 3,6 км/ч. Тогда время равноускоренного движения авто будет равно 20 секундам. Поскольку ускорение в СИ измеряется в метрах на секунду в квадрате, то надо ускорение 3,6 км/ч за секунду перевести в соответствующие единицы измерения. Оно будет равно (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .

Допустим, через какое-то время езды с постоянной скоростью автомобиль начал тормозить, чтобы остановиться. Движение при торможении тоже было равноускоренным (за равные промежутки времени скорость уменьшалась на одинаковую величину). В данном случае вектор ускорения будет противоположен вектору скорости. Можно сказать, что ускорение отрицательно.

Итак, если начальная скорость тела нулевая, то его скорость через время в t секунд будет равно произведению ускорения на это время:

При падении тела «работает» ускорение свободного падения, и скорость тела у самой поверхности земли будет определяться по формуле:

Если известна текущая скорость тела и время, которое понадобилось, чтобы развить такую скорость из состояния покоя, то можно определить ускорение (т. е. как быстро менялась скорость), разделив скорость на время:

Однако тело могло начать равноускоренное движение не из состояния покоя, а уже обладая какой-то скоростью (или ему придали начальную скорость). Допустим, вы бросаете камень с башни вертикально вниз с приложением силы. На такое тело действует ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с 2 . Однако ваша сила придала камню еще скорости. Таким образом, конечная скорость (в момент касания земли) будет складываться из скорости, развившийся в результате ускорения и начальной скорости. Таким образом, конечная скорость будет находиться по формуле:

Однако, если камень бросали вверх. То начальная его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения вниз. То есть вектора скоростей направлены в противоположные стороны. В этом случае (а также при торможении) произведение ускорения на время надо вычитать из начальной скорости:

Получим из этих формул формулы ускорения. В случае ускорения:

at = v – v 0
a = (v – v 0)/t

В случае торможения:

at = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t

В случае, когда тело равноускоренно останавливается, то в момент остановки его скорость равна 0. Тогда формула сокращается до такого вида:

Зная начальную скорость тела и ускорение торможения, определяется время, через которое тело остановится:

Теперь выведем формулы для пути, которое тело проходит при прямолинейном равноускоренном движении . Графиком зависимость скорости от времени при прямолинейном равномерном движении является отрезок, параллельный оси времени (обычно берется ось x). Путь при этом вычисляется как площадь прямоугольника под отрезком. То есть умножением скорости на время (s = vt). При прямолинейном равноускоренном движении графиком является прямая, но не параллельная оси времени. Эта прямая либо возрастает в случае ускорения, либо убывает в случае торможения. Однако путь также определяется как площадь фигуры под графиком.

При прямолинейном равноускоренном движении эта фигура представляет собой трапецию. Ее основаниями являются отрезок на оси y (скорость) и отрезок, соединяющий точку конца графика с ее проекцией на ось x. Боковыми сторонами являются сам график зависимости скорости от времени и его проекция на ось x (ось времени). Проекция на ось x - это не только боковая сторона, но еще и высота трапеции, т. к. перпендикулярна его основаниям.

Как известно, площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Длина первого основания равна начальной скорости (v 0), длина второго основания равна конечной скорости (v), высота равна времени. Таким образом получаем:

s = ½ * (v 0 + v) * t

Выше была дана формула зависимости конечной скорости от начальной и ускорения (v = v 0 + at). Поэтому в формуле пути мы можем заменить v:

s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2

Итак, пройденный путь определяется по формуле:

s = v 0 t + at 2 /2

(К данной формуле можно прийти, рассматривая не площадь трапеции, а суммируя площади прямоугольника и прямоугольного треугольника, на которые разбивается трапеция.)

Если тело начало двигаться равноускоренно из состояния покоя (v 0 = 0), то формула пути упрощается до s = at 2 /2.

Если вектор ускорения был противоположен скорости, то произведение at 2 /2 надо вычитать. Понятно, что при этом разность v 0 t и at 2 /2 не должна стать отрицательной. Когда она станет равной нулю, тело остановится. Будет найден путь торможения. Выше была приведена формула времени до полной остановки (t = v 0 /a). Если подставить в формулу пути значение t, то путь торможения приводится к такой формуле.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2 < v 1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Позволяет нам существовать на этой планете. Как можно понять, что представляет собой центростремительное ускорение? Определение этой физической величины представлено ниже.

Наблюдения

Самый простой пример ускорения тела, движущегося по окружности, можно наблюдать, вращая камень на веревке. Вы тянете веревку, а веревка тянет камень к центру. В каждый момент времени веревка сообщает камню некоторое количество движения, и каждый раз - в новом направлении. Можно представить движение веревки в виде серии слабых рывков. Рывок - и веревка изменяет свое направление, еще рывок - еще раз изменение, и так по кругу. Если вы внезапно отпустите веревку, рывки прекратятся, а вместе с ними и прекратится изменение направления скорости. Камень будет двигаться в направлении касательной к кругу. Возникает вопрос: "С каким ускорением будет двигаться тело в это мгновение?"

Формула центростремительного ускорения

Прежде всего стоит заметить, что движение тела по окружности является сложным. Камень участвует в двух видах движения одновременно: под действием силы он движется к центру вращения, и одновременно по касательной к окружности, от этого центра удаляется. Согласно Второму закону Ньютона, сила, удерживающая камень на веревке, направлена к центру вращения вдоль этой веревки. Туда же будет направлен вектор ускорения.

Пусть за некоторое время t наш камень, равномерно двигаясь со скоростью V, попадает из точки A в точку B. Предположим, что в момент времени, когда тело пересекало точку B, на него перестала действовать центростремительная сила. Тогда за промежуток времени оно попало бы в точку K. Она лежит на касательной. Если бы в тот же момент времени на тело действовали бы только центростремительные силы, то за время t, двигаясь с одинаковым ускорением, оно оказалось бы в точке O, которая расположена на прямой, представляющей собой диаметр окружности. Оба отрезка являются векторами и подчиняются правилу векторного сложения. В результате суммирования этих двух движений за отрезок времени t получаем результирующую движения по дуге AB.

Если промежуток времени t взять пренебрежимо малым, то дуга AB будет мало отличаться от хорды AB. Таким образом, можно заменить движение по дуге движением по хорде. В этом случае перемещение камня по хорде будет подчиняться законам прямолинейного движения, то есть пройденное расстояние AB будет равно произведению скорости камня на время его движения. AB = V х t.

Обозначим искомое центростремительное ускорение буквой a. Тогда пройденный только под действием центростремительного ускорения путь можно рассчитать по формуле равноускоренного движения:

Расстояние AB равно произведению скорости и времени, то есть AB = V х t,

AO - вычислено ранее по формуле равноускоренного движения для перемещения по прямой: AO = at 2 / 2.

Подставляя эти данные в формулу и преобразуя их, получаем простую и изящную формулу центростремительного ускорения:

Словами это можно выразить так: центростремительное ускорение тела, двигающегося по окружности, равно частному от деления линейной скорости в квадрате на радиус окружности, по которой вращается тело. Центростремительная сила в таком случае будет выглядеть так, как на картинке ниже.

Угловая скорость

Угловая скорость равна частному от деления линейной скорости на радиус окружности. Верно и обратное утверждение: V = ωR, где ω - угловая скорость

Если подставить это значение в формулу, можно получить выражение центробежного ускорения для угловой скорости. Оно будет выглядеть так:

Ускорение без изменения скорости

И все же, отчего тело с ускорением, направленным к центру, не движется быстрее и не перемещается ближе к центру вращения? Ответ кроется в самой формулировке ускорения. Факты говорят о том, что движение по окружности реально, но для его поддержания требуется ускорение, направленное к центру. Под действием силы, вызванной данным ускорением, происходит изменение количества движения, в результате чего траектория движения постоянно искривляется, все время меняя направление вектора скорости, но не изменяя ее абсолютной величины. Двигаясь по кругу, наш многострадальный камень устремляется внутрь, в противном случае он продолжал бы двигаться по касательной. Каждое мгновение времени, уходя по касательной, камень притягивается к центру, но не попадает в него. Еще одним примером центростремительного ускорения может стать водный лыжник, описывающий небольшие круги на воде. Фигура спортсмена наклонена; он как бы падает, продолжая движение и наклонившись вперед.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что ускорение не увеличивает скорость тела, так как векторы скорости и ускорения перпендикулярны друг к другу. Добавляясь к вектору скорости, ускорение лишь меняет направление движения и удерживает тело на орбите.

Превышение запаса прочности

В предыдущем опыте мы имели дело с идеальной веревкой, которая не рвалась. Но, допустим, наша веревка самая обычная, и даже можно вычислить усилие, после которого она просто порвется. Для того чтобы рассчитать эту силу, достаточно сопоставить запас прочности веревки с нагрузкой, которую она испытывает в процессе вращения камня. Вращая камень с большей скоростью, вы сообщаете ему большее количество движения, а значит, и большее ускорение.

При диаметре джутовой веревки около 20 мм ее прочность на разрыв равна около 26 кН. Примечательно, что длина веревки нигде не фигурирует. Вращая груз размером в 1 кг на веревке радиусом в 1 м, можно вычислить, что линейная скорость, необходимая для ее разрыва равна 26 х 10 3 = 1кг х V 2 / 1 м. Таким образом, скорость, которую опасно превышать, будет равна √26 х 10 3 = 161 м/с.

Сила тяжести

При рассмотрении опыта мы пренебрегали действием силы тяжести, так как при таких больших скоростях ее влияние пренебрежимо мало. Но можно заметить, что при раскручивании длинной веревки тело описывает более сложную траекторию и постепенно приближается к земле.

Небесные тела

Если перенести законы движения по окружности в космос и применить их к движению небесных тел, можно заново открыть несколько давно знакомых формул. Например, сила, с которой тело притягивается к Земле, известна по формуле:

В нашем случае множитель g и является тем самым центростремительным ускорением, которое было выведено из предыдущей формулы. Только в этом случае роль камня будет выполнять небесное тело, притягивающееся к Земле, а роль веревки - сила земного притяжения. Множитель g будет выражен через радиус нашей планеты и скорость ее вращения.

Итоги

Сущность центростремительного ускорения состоит в тяжелой и неблагодарной работе удержания движущегося тела на орбите. Наблюдается парадоксальный случай, когда при постоянном ускорении тело не изменяет величины своей скорости. Для неподготовленного ума такое заявление довольно парадоксально. Тем не менее и при расчете движения электрона вокруг ядра, и при вычислении скорости вращения звезды вокруг черной дыры, центростремительной ускорение играет не самую последнюю роль.