Предисловие.... 3
Введение.... 7
Глава 1. Кинематический анализ сооружений.... 14
§ 1.1. Опоры.... 14
§ 1.2. Условия геометрической неизменяемости стержневых систем.... 16
§ 1.3. Условия статической определимости геометрически неизменяемых стержневых систем.... 23

Глава 2. Балки.... 27
§ 2.1. Общие сведения.... 27
§ 2.2. Линии влияния опорных реакций для однопролетных и консольных балок.... 31
§ 2.3. Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил для однопролетных и консольных балок.... 34
§ 2.4. Линии влияния при узловой передаче нагрузки.... 38
§ 2.5. Определение усилий с помощью линий влияния.... 41
§ 2.6. Определение невыгоднейшего положения нагрузки на сооружении. Эквивалентная нагрузка.... 45
§ 2.7. Многопролетные статически определимые балки.... 51
§ 2.8. Определение усилий в многопролетных статически определимых балках от неподвижной нагрузки.... 55
§ 2.9. Линии влияния усилий для многопролетных статически определимых балок.... 59
§ 2.10. Определение усилий в статически определимых балках с ломаными осями от неподвижной нагрузки.... 62
§ 2.11. Построение линий влияния в балках кинематическим методом.... 64

Глава 3. Трехшарнирные арки и рамы.... 70
§ 3.1. Понятие об арке и сравнение ее с балкой.... 70
§ 3.2. Аналитический расчет трехшарнирной арки.... 73
§ 3.3. Графический расчет трехшарнирной арки. Многоугольник давления.... 82
§ 3.4. Уравнение рациональной оси трехшарнирной арки.... 87
§ 3.5. Расчет трехшарнирных арок на подвижную нагрузку.... 88
§ 3.6. Ядровые моменты и нормальные напряжения.... 95

Глава 4. Плоские фермы.... 98
§ 4.1. Понятие о ферме. Классификация ферм.... 98
§ 4.2. Определение усилий в стержнях простейших ферм.... 101
§ 4.3. Определение усилий в стержнях сложных ферм.... 118
§ 4.4. Распределение усилий в элементах ферм различного очертания.... 121
§ 4.5. Исследование неизменяемости ферм.... 125
§ 4.6. Линии влияния усилий в стержнях простейших ферм.... 133
§ 4.7. Линии влияния усилий в стержнях сложных ферм.... 142
§ 4.8. Шпренгельные системы.... 146
§ 4.9. Трехшарнирные арочные фермы и комбинированные системы.... 152

Глава 5. Определение перемещений в упругих системах.... 159
§ 5.1. Работа виешних сил. Потенциальная энергия.... 159
§ 5.2. Теорема о взаимности работ.... 163
§ 5.3. Теорема о взаимности перемещений.... 166
§ 5.4. Определение перемещений. Интеграл Мора.... 168
§ 5.5. Правило Верещагина.... 173
§ 5.6. Примеры расчета.... 179
§ 5.7. Температурные перемещения.... 185
§ 5.8. Эиергетический прием определения перемещений.... 188
§ 5.9. Перемещения статически определимых систем, вызываемые перемещениями опор.... 189

Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом сил.... 193
§ 6.1. Статическая неопределимость.... 193
§ 6.2. Канонические у равнени я метода сил.... 199
§ 6.3. Расчет статически неопределимых систем на действие заданной нагрузки.... 202
§ 6.4. Расчет статически неопределимых систем на действие температуры.... 213
§ 6.5. Сопоставление канонических уравнений при расчете систем на перемещения опор.... 215
§ 6.6. Определениеперемещенийвстатическинеопределимыхсистемах.... 219
§ 6.7. Построение эпюр поперечных и продольных сил. Проверка эпюр.... 222
§ 6.8. Способ упругого центра.... 228
§ 6.9. Линии влияния простейших статически неопределимых систем.... 231
§ 6.10. Использование симметрии.... 238
§ 6.11. Группировка неизвестных.... 241
§ 6.12. Симметричные и обратносимметричные нагрузки.... 243
§ 6.13. Способ преобразования нагрузки.... 245
§ 6.14. Проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.... 247
§ 6.15. Примеры расчета рам.... 249
§ 6.16. «Модели» линий влияния усилий для неразрезных балок.... 263

Глава 7. Расчет статически неопределимых систем методами перемещений и смешанным.... 265
§ 7.1. Выбор неизвестных в методе перемещений.... 265
§ 7.2. Определение числа неизвестных.... 266
§ 7.3. Основная система.... 269
§ 7.4. Канонические уравнения.... 276
§ 7.5. Статический способ определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.... 280
§ 7.6. Определение коэффициентов и свободиых членов системы канонических уравнений перемножением эпюр.... 283
§ 7.7. Проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений.... 286
§ 7.8. Построение эпюр M, Q и N в заданной системе.... 287
§ 7.9. Расчет методом перемещений на действие темцературы.... 288
§ 7.10. Использование симметрии при расчете рам методом перемещений.... 292
§ 7.11. Пример расчета рамы методом перемещений.... 295
§ 7.12. Смешанный метод расчета.... 302
§ 7.13. Комбинированное решение задач методами сил и перемещений.... 307
§ 7.14. Построение линий влияния методом перемещений.... 309

Глава 8. Полная система уравненнй строительной механики стержиевых систем и методы ее решения.... 313
§ 8.1. Общие замечания.... 313
§ 8.2. Составление уравнений равновесия, статические уравнения. Исследование образования систем.... 313
§ 8.3. Составление уравнений совместности, геометрические уравнения. Принцип двойственности.... 321
§ 8.4. Закон Гука. Физические уравнения.... 326
§ 8.5. Система уравнений строительной механики. Смешанный метод.... 328
§ 8.6. Метод перемещений.... 333
§ 8.7. Метод сил.... 341
§ 8.8. Уравнения теории упругости и их связь с уравнениями строительной механики.... 345

Глава 9. Расчет стержневых систем с использованием ЭВМ.... 352
§ 9.1. Вводные замечания.... 352
§ 9.2. Полуавтоматизированный расчет статически неопределимых систем с использованием калькуляторов.... 353
§ 9.3. Автоматизация расчета стержневых систем. Полная система уравнений строительной механики для стержня.... 363
§ 9.4. Матрицы реакций (жесткости) для плоских и пространственных стержней и их использование.... 372
§ 9.5. Описание учебного комплекса по расчету стержневых систем. Внутреннее и внешнее представление исходных данных. Блок-схема комплекса по расчету стержневых систем.... 389

Глава 10. Учет геометрической и физической нелинейности при расчете стержневых систем.... 397
§ 10.1. 0бщие замечания.... 397
§ 10.2. Расчет стержневых систем с учетом геометрической нелинейности.... 398
§ 10.3. Устойчивость стержневых систем.... 411
§ 10.4. Расчет стержневых систем с учетом физической нелинейности. Предельное состоянне.... 419

Глава 11. Метод конечных элементов (МКЭ) .... 435
§ 11.1. Общие замечания.... 435
§ 11.2. Связь МКЭ с уравнениями строительной механики.... 435
§ 11.3. Построение магрнц жесткости для решения плоской задачи теории упругости.... 456
§ 11.4. Предельный переход для плоской задачи.... 464
§ 11.5. Построение матриц жесткости для решения объемной задачи теории упругости.... 467
§ 11.6. Сложные элементы, построение матриц жесткости для элементов с искривленной границей.... 471
§ 11.7. Построение матриц реакций для расчета пластинок и оболочек.... 485
§ 11.8. Особенности комплексов для расчета конструкций по МКЭ. Суперэлементный подход.... 493

Глава 12. Основы динамики сооружений.... 501
§ 12.1. Виды динамических воздействий. Понятие о степенях свободы.... 501
§ 12.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы....
§ 12.3. Расчет систем с одной степенью свободы при действии периодической нагрузки.... 518
§ 12.4. Расчет систем с одной степенью свободы при действии произвольной нагрузки. Интеграл Дюамеля.... 524
§ 12.5. Движение системы с двумя степенями свободы. Приведение в системы с двумя степенями свободы к двум системам с одной степенью свободы.... 529
§ 12.6. Кинетическая энергия. Уравнение Лагранжа.... 536
§ 12.7. Приведение кинематического воздействия к силовому.... 544
§ 12.8. Сведение системы дифференциальных уравнений динамики к разделяющимся у равнениям с помощью решения проблемы собственных значений.... 546
§ 12.9. Метод постоянного ускорения и его использование для решения динамических задач.... 550

Глава 13. Сведения из вычислительной математики, используемые в строительной механике.... 554
§ 13.1. Общие замечания.... 554
§ 13.2. Матрицы, их виды, простейшие операции над матрицами.... 555
§ 13.3. Перемножение матриц. Обратная матрица.... 557
§ 13.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Разложение матрицы в произведение трех матриц.... 562
§ 13.5. Исследование систем линейных уравнений. Однородные уравнения. Решение n уравнений с m неизвестными с использованием метода Гаусса.... 574
§ 13.6. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Производная от квадратичной формы.... 578
§ 13.7. Собственные числа и собственныеве векторы положительно определенной матрицы.... 581
§ 13.8. Однородные координаты и интегрирование по треугольной области.... 594
§ 13.9. Соотношения между тригонометрическими, гиперболическими функциями и экспоненциальной функцией.... 599
Заключение.... 600
Литература.... 601
Предметный указатель.... 602

Рассмотрим одну из наиболее простых статически определимых комбинированных систем (рис. 11.11, а). Вначале построим линию влияния усилия в затяжке 1-2. Для этого проведем сечение I-I и рассмотрим равновесие левой отсе-

Рис. 11.11

ченной части. Предполагая, что груз находится справа от сечения I-I, из равновесия левой части получим

откуда найдем

Линия влияния при грузе, находящемся правее сечения I-I, имеет такое же очертание, как линия влияния опорной реакции R A , которая представляет собой треугольник с ординатой над левой опорой, равной единице. В нашем случае но уравнению (11.3) над левой опорой необходимо отложить ординату 1/(2/) (рис. 11.11, б). Но полученная правая прямая действительна только на протяжении от опоры В до шарнира С. Под точкой С пересекутся левая и правая прямые. Ордината над точкой С будет //(4/). Таким образом, получим л. в. Я в виде треугольника (см. рис. 11.11,6).

Для определения изгибающего момента в точке k проведем в непосредственной близости от стойки сечение II-И. Из равновесия левой части при грузе правее сечения найдем

Итак, ординаты правой прямой состоят из ординат двух прямых: прямой, определяющей линию влияния R A в масштабе (ik, и прямой, являющейся линией влияния распора в масштабе /. Ордината в середине пролета будет

но aft = 1/4 , поэтому момент М* при единичном грузе, расположенном в середине пролета, равен -1/8; если груз Р = 1 стоит в точке k , то

По этим данным построена л. в. (рис. 11.11, в). На рис. 11.11, г показана линия влияния поперечной силы. Усилие в затяжке 1-2 проецируется на сечение k в ноль, поэтому величина Н не влияет на величину поперечной силы Qj,. Ее вид будет такой же, как для простой балки.

В рассмотренной линии влияния момента положение нулевой точки легко определить графически. На рис. 11.12 показано направление равнодействующих сил, приложенных к левой и правой частям, когда единичный груз находится в точке, которой соответствует равенство нулю момента М*. Каждая из равнодействующей приложена в точке пересечения горизонтальной силы Н и соответствующей опорной реакции. Равнодействующая, приложенная к правой части, обязательно пройдет через шарнир С, так как момент в шарнире равен нулю. Равнодействующая сил, приложенных к левой части, должна пройти через точку k, так как только в этом случае М* = 0. Там, где пересекутся две равнодействующие, и должен расположиться груз Р - 1. Под этим грузом и будет лежать нулевая точка л. в. М/,.

При расчете статически неопределимых комбинированных систем обычно применяется метод сил, по которому линия влияния лишнего неизвестного определяется как линия прогибов от единичного значения неизвестного, деленная на масштаб 5ц (см. п. 6.12).

Рис. 11.12

Особенностью расчета в этом случае является вычисление масштаба 5ц с учетом изгиба в балке жесткости и осевых сил в элементах цепи:

Все остальные вычисления проводятся по обычной схеме.

Рассмотрим систему, которая приведена в примере 2 предыдущего параграфа. Масштаб 6 И = 1839/(?/).

Для построения линии прогибов балки, по которой движется единичная сила Р = 1 (рис. 11.13, а), необходимо вычислить прогибы от трех единичных сил, которые передаются на балку от действия силы Х = 1 (рис. 11.13, б). Эту задачу можно решить, применяя метод фиктивных сил (см. и. 5.11).

Формула подсчета фиктивного груза имеет вид

При расстояниях между узлами, равных S n = 5, |+ | = d = 6, и при EJ = const получим

По эпюре М„ (см. рис. 11.9) найдем

Фиктивная балка для данной задачи представляет собой простую двухопорную балку. Найдя фиктивные моменты от загружения балки фиктивными грузами W (см. рис. 11.13, б), получим линию прогибов, которая изображена на рис. 11.13, в. При построении Мф мы придерживались принятого ранее правила знаков: 1) грузы W направляли в сторону растянутого волокна в эпюре М (которая была сверху); 2) эпюру Мф от грузов W, направленных вверх, строили также со стороны растянутого волокна. В результате Мф отложены вверх. Это означает, что прогибы от Х = 1 направлены вверх, т.е. в противоположном направлении от груза Р = 1,

Рис. 11.13

ОТ которого строится ЛИНИЯ ВЛИЯНИЯ. Поэтому эпюра Мф имеет знак «минус». В соответствии с формулой (11.3) получим л. в. (рис. 11.13, г); для этого все ординаты эпюры Мф разделим на 8ц и сменим знак на обратный.

В тех случаях, когда узлы цепи гибкой арки лежат на узлах квадратной параболы, линии влияния в других подвесках будут совпадать с л. в. Х. Рассмотрим равновесие произвольного узла гибкой арки, показанного на рис. 11.14. Усилия в элементах цепи обозначим N„ и М„ +1 . Ввиду того что цепь сжата, обе силы N направлены к узлу. Усилие в стойке направлено вниз. Составим сумму проекций на горизонтальную ось:

Из этого равенства следует, что узел п уравновешивается двумя проекциями сил N, которые равны распору. Отсюда найдем

Проецируя все силы на вертикаль, запишем

Подставляя сюда значения сил N согласно равенству (11.4) и определяя усилие в стойке, найдем

Построим л. в. распора Я. Из равенства (11.6) найдем

Таким образом, линия влияния распора Я будет иметь такой же вид, как и л. в. Х. Все ординаты л. в. Я получатся из ординат л. в. Х путем деления их на разность тангенсов углов наклона примыкающих к узлу п элементов цени.

Рассмотрим теперь случай, когда узлы гибкой арки располагаются на оси квадратной параболы. В этом случае разность тангенсов углов наклона есть величина постоянная и равная 8fd/l 2 , где d - расстояние между подвесками. Поэтому из выражения (11.6) получим

Из выражений (11.4) и (11.8) следует, что построенная л. в. Х { подобна линиям влияния усилий N и распора Я. Для перехода от л. в. Х { к л. в. N надо все ординаты л. в. Х разделить на соответствующий косинус угла (р, а для получения л. в. Я - умножить на

l 2 /(8fd).

Построим теперь линию влияния изгибающего момента в сечении под первой стойкой по формуле Mk = Ml +МХ в этой точке М = -9 (см. рис. 11.9).

На рис. 11.15 показаны комбинированная система, линия влияния Ml в основной системе и окончательная линия влияния момента в точке k.

Вычисления целесообразно проводить в табличной форме (табл. 11.3).

При расчете строительных конструкций нередко приходится иметь дело с нагрузками, которые могут занимать на ней разные положения. Например, это может быть тележка крана на подкрановой балке, нагрузка проходящего поезда или скопления людей на ферме моста и т.п. Все эти нагрузки представляют собой, как правило, систему сосредоточенных вертикальных грузов с фиксированным расстоянием друг от друга. Предполагается, что нагрузки лишь изменяют свое положение, но не создают динамического эффекта.

Линией влияния (л.в.) какого-либо расчетного усилия (опорной реакции, изгибающего момента или поперечной силы) в заданном сечении балки называют график, отражающий закон изменения этого усилия в зависимости от положения на балке груза F = 1.

Линии влияния позволяют легко определить усилия в сечении, для которого они построены от любых нагрузок в произвольной комбинации.

Проще всего построение л.в. можно осуществить, используя статический способ. Он состоит в том, что из уравнений равновесия находят формулу (закон) изменения усилия в рассматриваемом сечении, для которого строится л.в., при любом положении груза F= 1 . Положение груза определяется в произвольно выбранной системе координат. В балках за начало отсчете принимают обычно левую опору А.

Л.в. опорных реакций V A и V B балки с консолями (рис.2.5).

Из уравнений равновесия можно получить формулы для V A иV В:

Уравнение л.в. V A 0;V А . l - 1(l -x)= 0V А =

Уравнение л.в.V в
0; -V B . l + 1 . x=0V B =

Каждое из этих уравнений - это уравнение прямой линии (xв первой степени). Графики можно построить, определив опорные реакции в двух точках

при x=0V A = 1,V B =0,

при x=lV A = 0,V B =1.

Положительный знак означает, что соответствующая реакция направлена вверх. При положении груза F=1 на дальней от опоры консоли опорная реакция меняет знак, так как направлена вниз.

Чтобы сразу оценить полезность таких графиков, зададимся вопросом, что будет, если на балке в каком то месте стоит не единичный груз, а сосредоточенная сила, например, мешок с цементом 0,5 кн.? Нужно умножить эту силу на ординату линии влияния (например, л.в.V A) под нагрузкой и сразу, без составления уравнений равновесия получить значение опорной реакцииV A .

Линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в каком либо сечении балки получают аналогично. Они функционально связаны с линиями влияния

опорных реакций.

Линия влияния изгибающего момента М к 1 в сечении к 1 ,расположенного в пролете балки (рис.2.6).

Рассматривают два случая расположения единичного груза: левее заданного сечения к 1 и правее него. Выражение для момента М к1 получают из уравнения равновесия.Составляют уравнение для той части балки, на которой грузF=1 отсутствует.

1.Пусть груз F=1 расположен левее сечения к 1 .Рассматривая равновесии правой части балки получим: М к1 =
=b . Эта формула определяет левую ветвь л.в. М к1 от сечений к 1 до конца левой консоли

2. Пусть груз F=1 расположен правее сечения к 1 . Тогда М к1 =
=a . Эта формула определяет правую ветвь л.в. М к1 .

Таким образом, ординаты правой ветви равны увеличенным в а раз ординатам линии влияния опорной реакцииV А, а ординаты левой ветви – ординатам л.в.V B , увеличенным вb раз. Левая и правая ветви пересекаются над сечением к 1 .(рис. 2.6).

Каждая ордината этого графика дает значение изгибающего момента в сечении к 1 , когда грузF=1 располагается на балке в месте, соответствующем этой ординате. Отличие от эпюры моментов состоит и в том, что положительные ординаты откладываются над осью балки.

Итак, построение л.в. изгибающего момента в заданном сечении к двухопорной балки сводится к следующему простому алгоритму:

На левой опоре вверх откладывают отрезок, равный расстоянию от этой опоры до сечения. Этот отрезок можно откладывать в любом удобном масштабе.

Конец отрезка соединяют с правой опорой

На полученную прямую сносят сечение. На рис. 2.6 эта точка показана звездочкой.

Точку пересечения соединяют с левой опорой.

Линия влияния поперечной силы Q к1 (ри2.7)

Опираясь на определение поперечной силы в балках, как проекции всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения на нормаль к оси балки, нетрудно получить формулы для левой и правой ветвей л.в.Q л1 .

1. Груз F=1 левее сеченияк 1 : Q к1 = -(V В)=-левая ветвь,

2. Груз F=1 правее сечения к 1: Q к1 =V А =- правая ветвь.

Порядок построения л.в. поперечной силы для сечения к сводится к следующим действиям:

На левой опоре вверх откладывают отрезок равный единице (рис.2.7)

на правой опоре вниз откладывают отрезок равный единице.

Соединяют концы отрезков с противоположными опорами.

На полученный параллелограмм сносят сечение.

Если у балки есть консольные участки, то правую ветвь л.в. продолжают по прямой до конца правой консоли, а левую ветвь - до конца левой консоли

Линии влияния момента и поперечной сил для сечения к 2, расположенного на консольной части балки (рис.2.8), легче всего строить, опираясь лишь на определения изгибающего момента и поперечной силы в балке.

Рассмотрим, например, сечение к1 на правой консоли.

Будем задавать положение груза F=1 координатой x с началом отсчета в сечении к 2 , направляя ось вправо (см. рис.2.5)

Линия влияния М к1 . .

1. Груз F=1 левее сечения к 2: М к2 =0 (Рассматривая правую ненагруженную часть консоли устанавливаем на основании определения момента, что М к2 =0)

2.Груз F=1 правее сечения к 2: М к2 =-1 . x .

Линия влияния М к2 показана на рис.2.8

Линия влияния Q к2 (рис.2.9)

1. Груз F=1 левее сечения к 2: Q к2 =0

2. Груз F=1 правее сечения к 2: Q к2 =1

Cравнивая эпюры изгибающих моментов М и поперечных силQcлиниями влияния М иQ, следует отметить, что они принципиально различны.

Ординаты эпюр усилий характеризуют напряженное состояние всей системы, в любом сечении от одной конкретной заданной нагрузки. При другом положении нагрузки расчет нужно проводить заново и строить новые эпюры.

Ординаты линии влияния, наоборот, характеризуют величину и изменение усилия в одном сечении, для которого построена эта линия влияния, в зависимости от положения единичной силы.

Определение усилий по линиям влияния. Загружение линий влияния.

Ординаты различных линий влияния имеют разную размерность. Действительно, чтобы получить по линии влияния опорную реакцию или поперечную силу, нужно умножить эту силу на ординату л.в. под силой и не забыть о ее знаке этой ординаты. Отсюда следует, что ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил безразмерны. Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют размерность длины.

Линии влияния, построенные от единичного вертикального груза, позволяют найти соответствующее усилие от любой реальной нагрузки, действующей на балку.

Рассмотрим три самые распространенные случая нагружения.

1.Влияние неподвижной цепочки сосредоточенных грузов (рис.2.10).

Применяя принцип независимости действия сил, можно выразить влияние всех сил, как сумму влияний каждой из них в отдельности. На рис. 2.10 показан участок какой то линии влияния усилияS(это может быть опорная реакция, момент или поперечная сила). Влияние каждой силы определяется произведением этой силы на ординату л.в. в месте ее приложения. Влияние цепочки сил может быть представлено в виде суммы

S = F 1 y 1 + F 2 y 2 + …+F n y n =
(1.2)

Следовательно, надо сосредоточенные внешние нагрузки умножить на ординаты л.в., расположенные под этими нагрузками (со своим знаком!) и результаты сложить,

2. Влияние неподвижной равномерно распределенной нагрузки, интенсивностью q(рис.2.11).э

Рис.2.11

Распределенную нагрузку на участке л.в., отмеченной на рисункеab, можно представить как цепочку сосредоточенных грузовqdx. Чтобы просуммировать влияние всех этих элементарных грузовqdx, нужно взять определенный интеграл в пределах от а доb

S=
. (2.2)

Буквой обозначена площадь линии влияния под нагрузкой.

Итак, чтобы определить по л.в. усилие от равномерно распределенной нагрузки интенсивность нагрузки qнужно умножить на площадь л.в. под нагрузкой (площадь понимается алгебраически - учитываются знаки участков л.в.).

3.Влияние сосредоточенного момента (рис.2.12)

Задача сводится к загружению сосредоточенными силами, если момент

представить в виде пары сил с плечом, равным единице. В этом случае каждая сила будет равна по величине М.

Влияние момента записывается как для цепочки грузов

Рис.2.12

S= _ My 1 +My 2 ,

Это выражение можно переписать так

S=M
.

Из рис.2.12 видно, что второй (дробный) множитель равен
- тангенсу угла наклона л.в. к оси балки в месте приложения сосредоточенного момента, т.е

S=M
. (3.2)

Чтобы учесть влияние сосредоточенного момента нужно умножить его на тангенс угла наклона л.в. к оси балки в сечении, где он действует. При этом принимается следующее правило знаков: момент, действующий по часовой стрелке, считается положительным; угол , отсчитываемый против часовой стрелки, принят положительным.На рис. 2.12 уголположительный.

Линии влияния расчетных усилий в многопролетных шарнирных балках.

Чтобы построить л.в. в многопролетной шарнирной балке, необходимо, прежде всего, построить поэтажную схему, схему взаимодействия отдельных ее элементов. Из поэтажной схемы следует, что единичная сила оказывает влияние на усилие в сечении только тогда, когда она находится на “этаже”, на котором это сечение задано, или на более высоких “этажах”.

Поэтому построение л.в. проводят в два этапа.

1.Строят л.в. на том этаже, на котором задано сечение по правилам построения л.в. для одиночной балки.

2.Учитывают влияние верхних этажей.

Построим, например, л.в. изгибающего момента для сечения I–Iв балке, показанной на рис.2..13, на котором изображена и поэтажная схема.

Так как сечение задано на основной балке АС, то строим л.в. момента как для однопролетной балки с консолью, руководствуясь правилом, изложенным на стр.20.

На втором этапе находятся нулевые точки л.в.на верхних “этажах”, которые и позволяют довести решение задачи до конца. При перемещении груза F=1 по балке второго “этажа” СЕ вправо опорная реакция на опоре С будет линейно уменьшаться и, следовательно будут уменьшаться давление на нижний этаж. Когда единичная сила, займет положение над опорой на "землю"D,то она будет воспринята этой опорой, опорная реакция на опоре С будет равна нулю, давление на нижний этаж передаваться не будет и момент в сеченииI–Iбудет равен нулю. Проведя прямую линию, соединяющую конец отрезка на консоли ВС и найденную нулевую точкуD

и продолжая ее до конца консоли второго этажа Е, получают второй участок л.в.

Поднимем груз F= 1 на третий “этаж”. Рассуждая аналогичным образом, устанавливаем, что при положении груза над опоройFопорная реакция на опоре Е будет равна нулю и нижние “этажи” выключаются из работы., то есть М I - I равен нулю. Соединим конец отрезка л.в на конце консоли второго “этажа” Е с нулем на опореF, закончим построение л.в. М I - I . (рис2.13с).

Все ординаты л.в. определяются из подобия треугольников. Опорными значениями служат ординаты на том этаже, на котором задано сечение.

Изложенные правила и приемы позволяют легко построить и л.в. поперечной силы Qв том же сеченииI–I.(рис.2.13d).

Построенные л.в. позволяют найти расчетные усилия в сечении I–Iот любой заданной нагрузки.

Найдем, например, М I - I иQ I - I от нагрузки, показанной на рис.2.13е.

Q I-I - 1.928 кН.

Пример решения задачи №1 контрольного задания.

Задана двухпролетная шарнирная балка и действующая на нее нагрузка(Рис.2.14)

Требуется

1.Построить эпюры М и Q.

2.Построить линии влияния R B ,М К и Q К для сеченияк и определить по ним опорную реакцию R В,М К, и Q К от заданной нагрузки.

1. Построение эпюр М и Q.

1.1 Выделяя "главные балки" (АВ и ДЕ) и "второстепенную" (СД),строят "поэтажную схему"(рис.2.15)

1.2 Начинают расчет с балки верхнего этажа (рис.2.16)

Балка CD /

Силу F 2 при расчете балки СД не учитываем, так как она на изгиб балки не влияет. Равномерно распределенная нагрузка оказывает одинаковое давление на опоры С иD. Поэтому

V C = V D = ql /2 = 2,4 . 3/2=3,6kH

Нужно твердо знать формулу для вычисления изгибающего момента в середине пролета равномерно загруженной балки

M max =ql 2 /8 = 2,4 . 3 2 /8 = 2,7 кНм.

1.3 Последовательно рассчитывают балки нижнего этажа.

Балка АВ (рис.2.17)

Опорные реакции определяют из условий равновесия

На конце левой консоли действует сосредоточенная сила равная сумме двух сил: силы F 2 = 2 кН и перевернутой опорной реакции балки верхнего этажаV с = 3.6 кН.

 М B =0; -6-14 . 2 + V A 4 + (2+3,6) . 1,5=0

V A = 6,40 кН;

M A = 0: - 6 +14
-V B
+ 5,6
=0

Проверка

y=0; 6,40-14 + 13,2-(2+3,6)=19,6 – 19,6 =0

Подсчитывают М и Q в характерных сечениях. Изгибающий момент М в каком либо сечении равен сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения. Поперечная сила в каком либо сечении равна сумме проекций на нормаль к оси балки всех сил, лежащих по одну сторону от этого сечения.

М A =- 6 кНм, М c ередина пролета АВ =- 6+6,4 . 2 = 6,80 кНм;

М К = - 6+ 6,4
- 14
3кНм М B = - (2+3,6) . 1,5 = - 8,40 кНм.

Q прав A =V A =6,40кН, Q прав серед.пролета АВ =V A = 6,40кН;

Q лев середина пролета АВ = 6,40-14 = -7,60кН;Q K = 6,4 – 14 = - 7,60 кН

Q прав B =-7,60+13,20=5,6 кН

Эпюру изгибающих моментов строим со стороны растянутых волокон и знаков можно не ставить. На эпюре поперечных сил знаки ставят обязательно.

Балка DE (рис. 2 .18)

Эпюры внутренних усилий М и Q в консольной балке удобно строить, начиная со свободного конца консоли, не определяя опорных реакций.

Рис.2.18

На участке, где действует равномерно распределенная нагрузка, моменты можно вычислять в трех точках: по концам и в середине участка. При вычислении изгибающего момента равномерно распределенная нагрузка заменяется равнодействующей.

М середине консоли =-3,6 . 1,25 - 2,4 . 1,25 . 0,625=- 6,375 кНм

М E =-3,6 . 2,5-2,4 . 2,5 . 1,25=- 16,50 кНм

Q E =-3,6-2,4 . 2,5=-9,6 кН.

Составляя эпюры, построенные для отдельных элементов, изображая ординаты в одном, удобном масштабе, строят окончательные эпюры М и Q.(Рис.2.19)

2. Построение линий влияния и определение по ним V В , M k и Q k от

заданной нагрузки.

Ориентируясь на «поэтажную» схему строят л.в. для балки АВ, а затем учитывают влияние верхнего этажа СD (рис.2.20).

Построение л.в.М л. на основной балке АВ.

На левой опоре вверх откладывают отрезок длиной, равной расстоянию от опоры А до сечения к.

Конец отрезка соединяют с правой опорой.

На полученную линию сносят сечение.

Точку пересечения соединяют с левой опорой.5

Левую и правую ветви л.в. продолжают до конца левой и правой консольной части балки

Если единичный груз находится на верхнем этаже, то давление на основную балку передается только через опору С. Когда груз расположится на опоре D, то опорная реакцияV c будет равна нулю и основная балка выключается из работы.. Поэтому влияние верхнего этажа на расчетные усилия в сечениик отражается прямой, соединяющей конец отрезка (ординаты) л.в. в точке С с точкойD.

На участке DEординаты обеих л.в.равны нулю: нагрузка, действующая на нижнем этаже не влияет на напряженное состояние другого нижнего этажа (АВ)

Линии влияния М и Qпоказаны на рис.2.20.

Определение М k и Q k по линиям влияния.

По правилам, изложенным на стр. 22-23, найдем расчетные величины усилий в сечении к от нагрузки, изображенной на рис.2.14.

Сосредоточенные силы умножаем на ординаты л.в. под этими силами, интенсивность нагрузки qумножаем на площадь л.в. под нагрузкой и сосредоточенный момент - на тангенс угла наклона л.в. к оси балки в месте приложения момента.

M k = - 6 . 0,30,8+14 . 0,75+2 (-0,9375)+2,4 (-0,9375 . 32) = 3,0kHм

Q k =-6 (-0,20,8) + 14 (-0,5) + 2 (-0,375) + 2,4 (-0,375 . 32) = -7,6 kH

Сравнивая полученные значения с величинами, полученными при построении эпюр, убеждаемся в их полном совпадении.

Как построить линии влияния? Строительная механика основывается на кинематическом способе Лагранжа. Его основная суть заключается в том, что в системе, которая находится в состоянии полного равновесия, результирующая всех сил на незначительных перемещениях равна нулю.

Специфичность метода

Чтобы построить линии влияния реакции, изгибающего момента, поперечной силы для заданного сечения балки, используется определенный алгоритм действий. Для начала удаляют связь. Кроме того, убирают линии влияния внутреннего усилия, вводят необходимое усилие. В результате подобных манипуляций заданная система будет механизмом, обладающим одной степенью свободы. В том направлении, где рассматривается внутреннее усилие, вводят незначительное перемещение. Его направление должно быть аналогично внутреннему усилию, только в таком случае будет совершаться положительная работа.

Примеры построений

На основе принципа перемещений записывают уравнение равновесия, при его решении вычисляют линии влияния, определяют необходимое усилие.

Рассмотрим пример таких расчетов. Строим линии влияния поперечной силы в некотором сечении А. Чтобы справиться с поставленной задачей, необходимо построить эпюру перемещений данной балки от одинарного перемещения в направлении убранной силы.

Формула для определения усилий

Построение линий влияния осуществляется с применением специальной формулы. Она связывает искомое усилие, величину сосредоточенной силы, которая действует на балку, с площадью фигуры, образованной линией влияния и осью эпюры под нагрузкой. А также с показателем изгибающего момента и тангенса угла линии влияния усилий и нейтральной осью.

Если направление распределительной нагрузки и сосредоточенной силы совпадают с направлением подвижной единичной силы, они имеют положительное значение.

Изгибающий момент будет положительной величиной в том случае, когда его направление совпадает с движением часовой стрелки. Тангенс будет положительным при значении угла поворота менее прямого угла. При проведении вычислений используют со своими знаками величину ординат и площади линии влияния. Строительная механика основывается на статистическом методе построения эпюр.

Определения

Приведем основные определения, которые необходимы для выполнения качественных чертежей и расчетов. Линия влияния - это линия, которая связывает внутреннее усилие и перемещение единичной подвижной силы.

Ординаты демонстрируют изменение анализируемого внутреннего усилия, появляющегося в определенной точке на балке при передвижении по длине единичной силы. Они показывают изменение в разных точках рассматриваемого внутреннего усилия при условии использования внешней неподвижной нагрузки. Статистический вариант построение базируется на записи уравнений равновесия.

Два варианта построения

Построение линий влияния в балках и изгибающего момента возможно в двух случаях. Сила может располагаться справа или слева относительно используемого сечения. При левом расположении от сечения силы при проведении расчетов выбирают силы, которые будут действовать правее. При ее правом действии считают по левым силам.

Многопролетные балки

В мостах, к примеру, при передаче внешней нагрузки на несущую часть всей строительной конструкции используются вспомогательные балки. Главной балкой называют ту, что является несущей основой. Поперечными считают балки, располагающиеся к главной под прямым углом.

Вспомогательными (однопролетными) именуют балки, к которым и прилагается внешняя нагрузка. Такой вариант передачи на основную балку нагрузки считается узловым. Панелью считают участок, расположенный между двумя ближайшими узлами. А они представлены в виде точек главной оси, к которым подходят поперечные балки.

Особенности

Что собой представляет линия влияния? Определение данного термина в балке связано с графиком, который показывает изменение анализируемого фактора при передвижении единичной силы по балке. В его качестве может выступать поперечная сила, изгибающий момент, опорная реакция. Любая ордината линий влияния демонстрирует размер анализируемого фактора в тот момент времени, когда сила располагается над ней. Как построить линии влияния балки? Основывается статистический способ на составлении уравнений статистики. Например, для простой балки, находящейся на двух шарнирных опорах, характерна сила, передвигающаяся по балке. Если выбрать определенное расстояние, на котором она функционирует, можно построить линии влияния реакции, составить уравнение моментов, построить по двум точка график.

Кинематографический способ

Может быть на основе перемещений построена линия влияния. Примеры таких графиков можно найти в тех случаях, когда изображают балку без опоры, чтобы механизм мог перемещаться в положительном направлении.

Для построения линии влияния определенного изгибающего момента необходимо врезать в имеющееся сечение шарнир. В таком случае полученный механизм будет поворачиваться на единичный угол в положительном направлении.

Построение линии влияния при поперечной силе возможно при врезке в сечение ползуна и раздвигании балки на единицу в положительном направлении.

Можно с помощью кинематографического способа построить линии изгибающего момента и поперечной силы в консольной балке. С учетом неподвижности левой части в подобной балке рассматривается движение только для правой части в положительном направлении. Благодаря линиям влияния по формуле можно рассчитать любые усилия.

Расчеты при кинематографическом способе

При расчетах по кинематическому способу используют формулу, связывающую число опорных стержней, количество пролетов, шарниров, степени свободы поставленной задачи. Если при подстановке заданных значений свободы будет равно нулю, статистически задачу можно определить. Если данный показатель будет иметь отрицательное значение, задача статистически невыполнима, при положительной величине степеней свободы выполняется геометрическое построение.

Для того чтобы было удобнее проводить расчеты, иметь наглядное представление об особенностях работы дисков в многопролетной балке, строят поэтажную схему.

Для этого меняют на шарнирно-неподвижные опоры все исходные шарниры, имеющиеся в балке.

Разновидности балок

Предполагается несколько типов многопролетных балок. Специфичность первого типа состоит в том, что во всех пролетах, за исключением первого, используются шарнирно-подвижные опоры. Если вместо шарниров использовать опоры, будут образовываться однопролетные балки, в которых каждая будет опираться на консоль рядом стоящей.

Для второго типа характерно чередование пролетов, которые обладают двумя шарнирно-подвижными опорами, с пролетами без опор. В таком случае поэтажная схема на консоли центральных балок базируется на балках-вставках.

Кроме того, существуют и такие балки, в которых совмещаются два предыдущих типа. Чтобы обеспечить статистическую определимость балок-вставок, переносят между опорой на правую соседнюю балку. Нижний этаж в поэтажной схеме будет представлен основной балкой, а второстепенные балки применяют для верхнего этажа.

Эпюры внутренних силовых факторов

С помощью поэтапной схемы можно выполнять построение эпюры для отдельной балки начиная с верхнего этажа и завершая нижними построениями. После того как будут завершены построения силовых внутренних факторов для верхнего этажа, нужно поменять все найденные значения реакции опор на противоположные по направлению силы, затем приложить их в поэтажной схеме к нижнему этажу. При построении на нем эпюр пользуются заданной нагрузкой сил.

После завершения построения эпюр силовых внутренних факторов осуществляется статистическая проверка полной многопролетной балки. При проверке должно выполняться условие, согласно которому сумма всех реакций опор и заданных сил равна нулю. Также важно провести анализ соблюдения дифференциальной зависимости для отдельных участков используемой балки.

В графике, который выражает закон изменения либо силового внутреннего фактора в конкретном (заданном) сечении здания, функции от расположения передвигающегося отдельного груза называют линией влияния. Чтобы построить их применяют уравнение статистики.

Для определения силовых внутренних факторов вычисления реакций опор по определенным линиям влияния используются графические построения.

Значение вычислений

В широком значении строительная механика рассматривается в качестве науки, которая занимается разработкой методов расчета и принципов проверки конструкций и сооружений на устойчивость, прочность, а также на жесткость. Благодаря качественным и своевременным расчетам на прочность можно гарантировать безопасность работы возведенных сооружений, полную стойкость их к внутренним и внешним усилиям.

Для достижения желаемого результата применяется сочетание экономичности и долговечности.

Расчеты на устойчивость позволяют выявлять критические показатели внешних воздействий, гарантирующие сохранность заданной формы равновесия и положения в деформированном состоянии.

Расчеты на жесткость заключаются в выявлении разнообразных вариантов деформаций (осадок, прогибов, вибраций), из-за которых исключается полноценная эксплуатация сооружений, возникает угроза прочности конструкций.

Для того чтобы не возникало аварийных ситуаций, важно проводить подобные вычисления, анализировать соответствие полученных показателей предельно допустимым значениям.

В настоящее время строительная механика применяет огромное количество разнообразных надежных методик расчетов, которые прошли детальные испытания строительной и инженерной практикой.

Учитывая постоянную модернизацию и развитие строительной отрасли, включая и ее теоретическую базу, можно вести речь о применении новых надежных и качественных способов построения чертежей.

В узком понимании строительная механика связана с теоретическими расчетами стержней, брусьев, которые образуют сооружение. В качестве базы для строительной механики выступают фундаментальная физика, математика, экспериментальные исследования.

Расчетные схемы, которые применяются в строительной механике для каменных, железобетонных, деревянных, металлических конструкций, позволяют избегать недоразумений во время возведения зданий и сооружений. Только при правильном предварительном построении чертежей можно вести речь о безопасности и надежности создаваемых сооружений. Построение линий влияния в балках является довольно серьезным и ответственным мероприятием, ведь от точности действий зависит жизнь людей.

Рассмотрим построение линий влияния в многопролетной балке на конкретном примере (рис. 11а ).

Линия влияния реакций опор, изгибающих моментов и поперечных сил в каком-либо сечении в многопролетной статически определимой балке удобнее строить с использованием ее поэтажной схемы, которая дает наглядное представление о взаимодействии пролетов (рис.11б ).

Рис. 11. Линии влияния в многопролетной балке

Подвесные балки BC (балка-вставка) и KLT относительно основных двух балок AB и CDEK являются передаточными и испытывают нагрузку только тогда, когда она действует непосредственно на эти балки.

При движении единичного груза по подвесной балке KLT , возникающая опорная реакция R k будет оказывать давление на балку CDEK , изменяя в частности, опорные реакции R B и R E . Как только единичный груз достигнет

опоры L , опорная реакция R L = 1, а опорная реакция R K = 0, а, следовательно, давление на балку CDEK будет отсутствовать (R B = 0, R E = 0).

При движении единичного груза по основной балке CDEK последняя никакого давления на подвесные балки KLT и BC не оказывает.

Используя подобные рассуждения, можно сформулировать основные принципы построения линий влияния в многопролетной балке:

1. Для многопролетной балки строим поэтажную схему.

2. Для элементарной балки, в которой задано сечение, строим линии влияния, используя рис. 10.

3. Линии влияния достраиваются только на вышерасположенные балки по следующим правилам:

Под соединительными шарнирами линии влияния всегда имеют перелом;

Под следующей опорой вышерасположенных балок вселинии влияния имеют нулевые ординаты;

В пределах каждой вышерасположенной балки линии влияния прямолинейны.

Ординаты линии влияния на опорах второстепенных балок (шарнирах) определяются из отношений сходственных сторон подобных треугольников.

Для балки, изображенной на рис.11, построим линии влияния опорной реакции R E и линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях 1 и 2 .

Линия влияния опорной реакции R E

Опора R E принадлежит балке CDEK - это двух опорная балка со свисающими консолями. В соответствии с рис. 8 в отложим единицу под опорой E , соединим с нулем на опоре D и продлим влево и вправо на величину консольных вылетов. Ординаты линии влияния в сечениях C и K балки CDEK определим из отношений сторон подобных треугольников. Достраиваем линию влияния на вышерасположенные балки BC и KLT . Соединяем ординату линии влияния в сечении C с нулем в шарнире B , а ординату линии влияния в сечении K с нулем на опоре L и продлеваем вправо на величину консольного вылета LT . Ординату линии влияния в сечении T определим из отношений сторон подобных треугольников.