Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.

У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.

Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.

Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).

После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.

Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.

Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh

Площадь полной поверхности цилиндра

Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.

1. Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh

S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 3

S бок. = 6,28 * 6

S бок. = 37,68

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.

2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью.

Цилиндр состоит из боковой поверхности и двух оснований. Формула площади поверхности цилиндра включает в себя отдельный расчет площади оснований и боковой поверхности. Так как основания в цилиндре равны, то полная его площадь будет рассчитываться по формуле:

Пример расчета площади цилиндра мы рассмотрим после того, как узнаем все необходимые формулы. Для начала нам понадобится формула площади основания цилиндра. Так как основанием цилиндра является круг, то нам потребуется применить :
Мы помним, что в этих расчетах используется постоянное число Π = 3,1415926, которое рассчитано как соотношение длины окружности к ее диаметру. Это число является математической константой. Пример расчета площади основания цилиндра мы также рассмотрим чуть позже.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:

А теперь рассмотрим задачу, в которой нам потребуется рассчитать полную площадь цилиндра. В заданной фигуре высота h = 4 см, r = 2 см. Найдем полную площадь цилиндра.
Для начала рассчитаем площадь оснований:
Теперь рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности цилиндра. В развернутом виде она представляет прямоугольник. Его площадь рассчитывается по приведенной выше формуле. Подставим в нее все данные:
Полная площадь круга представляет собой сумму двойной площади основания и боковой:

Таким образом, используя формулы площади оснований и боковой поверхности фигуры, мы смогли найти полную площадь поверхности цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором стороны равны высоте и диаметру цилиндра.

Формула площади осевого сечения цилиндра выводится из формулы расчета :

Цилиндр (круговой цилиндр) – тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, – образующими цилиндра.

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, а образующие цилиндра параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковую поверхность составляют образующие.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основания. Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси. Существуют и другие виды цилиндра – эллиптический, гиперболический, параболический. Призму так же рассматривают, как разновидность цилиндра.

На рисунке 2 изображён наклонный цилиндр. Круги с центрами О и О 1 являются его основаниями.

Радиус цилиндра – радиус его основания. Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой – равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Её боковые рёбра являются образующими цилиндра. Призма называется описанной около цилиндра, если её основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости её граней касаются боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить, умножив длину образующей на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра можно найти по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, которая равна периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

В частности, для прямого кругового цилиндра:

P = 2πR, и S b = 2πRh.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Для нахождения объёма наклонного цилиндра существуют две формулы.

Можно найти объём, умножив длину образующей на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Объём наклонного цилиндра равен произведению площади основания на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):

V = Sh = S l sin α,

где l – длина образующей, а α – угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h = l.

Формула для нахождения объёма кругового цилиндра выглядит следующим образом:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

где d – диаметр основания.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Цилиндр – это фигура, состоящая из цилиндрической поверхности и двух окружностей, расположенных параллельно. Расчет площади цилиндра – это задача геометрического раздела математики, которая решается достаточно просто. Существует несколько методов ее решения, которые в результате всегда сводятся к одной формуле.

Как найти площадь цилиндра – правила вычисления

• Чтобы узнать площадь цилиндра, необходимо две площади основания сложить с площадью боковой поверхности: S= Sбок.+ 2Sосн. В более развернутом варианте данная формула выглядит так: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Площадь боковой поверхности данного геометрического тела можно высчитать, если известны его высота и радиус окружности, лежащей в основании. В данном случае можно выразить радиус из длины окружности, если она дана. Высота может быть найдена, если в условии задано значение образующей. В этом случае образующая будет равна высоте. Формула боковой поверхности данного тела выглядит так: S= 2 π rh.
• Площадь основания считается по формуле нахождения площади круга: S osn= π r 2 . В некоторых задачах может не даваться радиус, но задаваться длина окружности. С данной формулы радиус выражается достаточно легко. С=2π r, r= С/2π. Нужно также помнить о том, что радиус – это половина диаметра.
• При выполнении всех этих расчетов число π обычно не переводится в 3,14159… Его нужно просто дописывать рядом с числовым значением, которое было получено в результате проведения вычислений.
• Далее необходимо лишь умножить найденную площадь основания на 2 и прибавить к полученному числу вычисленную площадь боковой поверхности фигуры.
• Если в задаче указывается, что в цилиндре есть осевое сечение и это – прямоугольник, то решение будет немного другим. В таком случае ширина прямоугольника будет являться диаметром окружности, лежащей в основании тела. Длина фигуры будет равна образующей или высоте цилиндра. Необходимо высчитать нужные значения и подставить в уже известную формулу. В данном случае ширину прямоугольника нужно разделить на два, чтобы найти площадь основания. Для нахождения боковой поверхности длина умножается на два радиуса и на число π.
• Можно высчитать площадь данного геометрического тела через его объем. Для этого нужно из формулы V=π r 2 h вывести недостающую величину.
• В вычислении площади цилиндра нет ничего сложного. Нужно только знать формулы и уметь выводить из них величины, необходимые для проведения расчетов.

Стереометрия − это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

В окружающей нас природе существует множество объектов, являющихся физическими моделями указанной фигуры. Например, многие детали машин имеют форму цилиндра или представляют собой некоторое их сочетание, а величественные колонны храмов и соборов, выполненные в форме цилиндров, подчеркивают их гармонию и красоту.

Греч. − кюлиндрос. Античный термин. В обиходе − свиток папируса, валик, каток (глагол − крутить, катать).

У Евклида цилиндр получается вращением прямоугольника. У Кавальери − движением образующей (при произвольной направляющей − "цилиндрика").

Цель данного реферата рассмотреть геометрическое тело – цилиндр.

Для достижения данной цели необходимо рассмотреть следующие задачи:

− дать определения цилиндра;

− рассмотреть элементы цилиндра;

− изучить свойства цилиндра;

− рассмотреть виды сечения цилиндра;

− вывести формулу площади цилиндра;

− вывести формулу объема цилиндра;

− решить задачи с использованием цилиндра.

1.1. Определение цилиндра

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную) l, лежащую в некоторой плокости α, и некоторую прямую S, пересекающую эту плоскость. Через все точки данной линии l проведем прямые, параллельные прямой S; образованная этими прямыми поверхность α называется цилиндрической поверхностью. Линия l называется направляющей этой поверхности, прямые s 1 , s 2 , s 3 ,... − ее образующими.

Если направляющая является ломаной, то такая цилиндрическая поверхность состоит из ряда плоских полос, заключенных между парами параллельных прямых, и называется призматической поверхностью. Образующие, проходящие через вершины направляющей ломаной, называются ребрами призматической поверхности, плоские полосы между ними − ее гранями.

Если рассечь любую цилиндрическую поверхность произвольной плоскостью, не параллельной ее образующим, то получим линию, которая также может быть принята за направляющую данной поверхности. Среди направляющих выделяется та, которая, получается, от сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной образующим поверхности. Такое сечение называется нормальным сечением, а соответствующая направляющая − нормальной направляющей.

Если направляющая − замкнутая (выпуклая) линия (ломаная или кривая), то соответствующая поверхность называется замкнутой (выпуклой) призматической или цилиндрической поверхностью. Из цилиндрических поверхностей простейшая имеет своей нормальной направляющей окружность. Рассечем замкнутую выпуклую призматическую поверхность двумя плоскостями, параллельными между собой, но не параллельными образующим.

В сечениях получим выпуклые многоугольники. Теперь часть призматической поверхности, заключенная между плоскостями α и α", и две образовавшиеся при этом многоугольные пластинки в этих плоскостях ограничивают тело, называемое призматическим телом − призмой.

Цилиндрическое тело − цилиндр определяется аналогично призме:
Цилиндром называется тело, ограниченное с боков замкнутой (выпуклой) цилиндрической поверхностью, а с торцов двумя плоскими параллельными основаниями. Оба основания цилиндра равны, также равны между собой и все образующие цилиндра, т.е. отрезки образующих цилиндрической поверхности между плоскостями оснований.

Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 1).

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, − образующими цилиндра.

Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.

Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как геометрическое тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 2).

Рис. 2 − Прямой цилиндр

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра − круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс − то эллиптическом.

1. 3. Сечения цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник (рис. 3, а). Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.

а)б)

в) г)

Рис. 3 – Сечения цилиндра

В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это − сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 3, б).

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг (рис 3, в).

Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси − овал (рис. 3г).

Теорема 1. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Доказательство. Пусть β − плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра. Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость β с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью β с окружностью основания. Теорема доказана.

Площадь боковой поверхности цилиндра.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается предел, к которому стремится площадь боковой поверхности правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон основания этой призмы неограниченно возрастет.

Теорема 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S бок.ц = 2πRH, где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

А) б)
Рис. 4 − Площадь боковой поверхности цилиндра

Доказательство.

Пусть P n и Н соответственно периметр основания и высота правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр (рис. 4, а). Тогда площадь боковой поверхности этой призмы S бок.ц − P n H. Предположим, что число сторон многоугольника, вписанного в основание, неограниченно растет (рис. 4, б). Тогда периметр P n стремится к длине окружности С = 2πR, где R- радиус основания цилиндра, а высота H не изменяется. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы стремится к пределу 2πRH, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна S бок.ц = 2πRH. Теорема доказана.

Площадь полной поверхности цилиндра.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра равна πR 2 , следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S полн вычисляется по формуле S бок.ц = 2πRH+ 2πR 2 .

r

T 1

T

F

F 1

F

T

а)

F

б)

Рис. 5 − Площадь полной поверхности цилиндра

Если боковую поверхность цилиндра разрезать по образующей FT (рис. 5, а) и развернуть так, чтобы все образующие оказались в одной плоскости, то в результате мы получим прямоугольник FTT1F1, который называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Сторона FF1 прямоугольника есть развертка окружности основания цилиндра, следовательно, FF1=2πR, а его сторона FT равна образующей цилиндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким образом, площадь FT∙FF1=2πRH развертки цилиндра равна пло­щади его боковой поверхности.

1.5. Объем цилиндра

Если геометрическое тело простое, то есть допускает разбиение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следующим образом.

Данное тело имеет объем V, если существует содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколько угодно мало отличающимися от V.

Применим это определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н.

При выводе формулы для площади круга были построены такие два n-угольника (один − содержащий круг, другой − содержащийся в круге), что их площади при неограниченном увеличении n неограниченно приближались к площади круга. Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р − многоугольник, содержащий круг, а Р" − многоугольник, содержащийся в круге (рис. 6).

Рис. 7 − Цилиндр с описанной и вписанной в него призмой

Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р" и высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. Так как при неограниченном увеличении n площади оснований призм неограниченно приближаются к площади основания цилиндра S, то их объемы неограниченно приближаются к SН. Согласно определению объем цилиндра

V = SH = πR 2 H.

Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Задача 1.

Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q.

Найдите площадь основания цилиндра.

Дано: цилиндр, квадрат − осевое сечение цилиндра, S квадрата = Q.

Найти: S осн.цил.

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна .

Ответ: S осн.цил. =

Задача 2.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр, радиус основания = высоте цилиндра.

Найти: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра.

Решение: Боковые грани призмы − квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу.

Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А это угол равен 45°, так как грани − квадраты.

Ответ: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра = 45°.

Задача 3.

Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.

Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.

Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.

Найти: S сеч.

S сеч. = КМ×КС,

ОЕ = 4 см, КС = 6 см.

Треугольник ОКМ − равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),

треугольник ОЕК − прямоугольный.

Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:

КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,

S сеч. = 6×6 = 36 см 2 .

Цель данного реферата выполнена, рассмотрено такое геометрическое тело, как цилиндр.

Рассмотрены следующие задачи:

− дано определение цилиндра;

− рассмотрены элементы цилиндра;

− изучены свойства цилиндра;

− рассмотрены виды сечения цилиндра;

− выведена формула площади цилиндра;

− выведена формула объема цилиндра;

− решены задачи с использованием цилиндра.

1. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений, 1995.

2. Бескин Л.Н. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы, 1999.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений, 2000.

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 1998.

5. Киселев А. П., Рыбкин Н. А. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник, 2000.